Média Harmônica

A média harmônica, não tão conhecida como a média aritmética, é usada para calcular o valor médio de grandezas inversamente proporcionais. Como por exemplo, a velocidade média.

Observe que na grandeza descritas temos:

Aumentando o tempo usado no percurso a velocidade diminuirá, ou seja, quando um aumenta a outra diminui. Por isso dizemos que a velocidade é inversamente proporcional ao tempo.

Observação: A média harmônica é sempre menor à média aritmética.

Encontramos a média harmônica a partir da divisão da quantidade de elementos pela soma dos inversos de todos os elementos. Assim:

Exemplos:

1. Metade da distância de uma viagem é feita a 40 km por hora e a outra metade da distância a 60 km por hora, então a velocidade média para a viagem é dada pela média harmônica. Calcule a velocidade média.

2. Encontre a média aritmética e a média harmônica dos seguintes valores: 10, 20, 30, 40, 50.

Assim concluímos que se os valores 10, 20, 30, 40 e 50 são de valores de grandezas inversamente proporcionais a média é a média harmônica; se os valores não o se enquadram nesta classificação a média é a média aritmética.

Média Ponderada

A palavra ponderada significa pesada. Com isso, esta média é a medida que usamos “pesos”, ou diferenciamos as variáveis por importância. A média ponderada é uma média em que cada valor considerado tem importância diferente entre elas.

A média ponderada é calculada através da divisão da soma do produto das variáveis pelos seus respectivos “pesos” pelo somatório dos “pesos”. Observe os exemplos.

1.1. A média do semestre da Universidade regional do Cariri (URCA) é calculada a partir da média ponderada de duas notas obtidas pelas avaliações durante o semestre, onde a primeira tem peso 1 e a segunda peso 2. Considere um aluno que tenha primeira nota igual a 8,0 e segunda nota igual a 4,0. Qual a

média semestral deste aluno?

Solução Exemplo 1.1:

1.2. A média semestral do Instituto Federal do Ceará (IFCE) é calculada a partir da média ponderada de três notas obtidas pelas avaliações durante o semestre, onde a primeira tem peso 1, a segunda peso 2 e a terceira peso 3. Considere um aluno que tenha primeira nota igual a 8,0, segunda nota igual a 7,0 e terceira nota igual 4,0. Qual a média semestral deste aluno?

Solução Exemplo 1.2:

Utilizando os mesmos casos, mas mudando as posições das notas, observe as modificações na média semestral.

2.1. A média do semestre da Universidade regional do Cariri (URCA) é calculada a partir da média ponderada de duas notas obtidas pelas avaliações durante o semestre, onde a primeira tem peso 1 e a segunda peso 2. Considere um aluno que tenha primeira nota igual a 4,0 e segunda nota igual a 8,0. Qual a

média semestral deste aluno?

Solução Exemplo 2.1:

2.2. A média semestral do Instituto Federal do Ceará (IFCE) é calculada a partir da média ponderada de três notas obtidas pelas avaliações durante o semestre, onde a primeira tem peso 1, a segunda peso 2 e a terceira peso 3. Considere um aluno que tenha primeira nota igual a 4,0, segunda nota igual a 7,0 e terceira nota igual 8,0. Qual a média semestral deste aluno?

Solução Exemplo 2.2: 

Assim, compreendemos o sentido de uma média pondera, onde cada valor tem uma importância, como percebemos: as notas de peso 2 (Exemplos 1.1 e 2.1) e peso 3 (Exemplos 1.2 e 2.2) elas são mais “importantes”. Ou seja, os valores que tem peso maior tem uma maior contribuição no resultado da média ponderada.

Vídeo-aula de Matrizes - Definições e Operações 1

Média Aritmética

A média aritmética é uma medida de posição de tendência central, das medidas de posição esta é a mais utilizada e no cotidiano. O conceito de média aritmética é usado muitas vezes sem nem ser definido o conceito. Somando-se os valores e dividindo pela quantidade de valores somados.

Exemplos:

a. Observe a situação de Pedro, André, Tiago e João no fim do ano letivo em sua escola. Dadas as notas bimestrais calcule a média anual de cada um deles. Notas: Pedro {5; 6; 8;10}, André {6; 6; 6,5; 7,5}, Tiago {9; 7; 5; 1} e João {2; 7; 9; 10}

Solução Exemplo a.:

Utilizando a definição de média aritmética, somamos os quatro valores referentes às notas de cada aluno e dividimos por quatro, por serem quatro valores somados. Assim:

Pedro.

André.

Tiago.

João.

b. Em uma empresa o salário é distribuído por classe-nível de acordo como segue: A - R$ 3.000,00; B - R$ 2.000,00; C - R$ 1.200,00; D - 970,00 e E - 540,00. Qual o salário médio oferecido aos funcionários desta empresa?

Solução Exemplo b.:

c. Um time de futebol marcou 3 gols na primeira partida, 2 gols na segunda, 4 na terceira e 1 na quarta. Calcule a média de gols marcados por este time nesta rodada.

Solução Exemplo c.:

d. Três pontos no plano cartesiano, A(0; 0), B(0; 1) e C(1; 0), formam um triângulo. Sabendo que o baricentro é a média das coordenadas, calcule o baricentro do triângulo em questão.

Solução Exemplo d.:

Logo as coordenadas do baricentro é o ponto B(1/3; 1/3)

Matrizes - Operações e Exemplos

Já está disponível o material de apoio para o estudo das operações com matrizes. Este contempla as operações de: Adição, Subtração, Multiplicação por um número Real, e Multiplicação entre matrizes.

Neste material também acompanha exemplos que facilitam a compreensão de cada operação. Para baixar o material e estudar clique nos links abaixo ou procure na barra de Material para Download. Não deixe de levar dúvidas para as aulas!!!

Links:

Matrizes - Operações e Exemplos

Lista de Exercícios (Ainda em construção)

Caso desejem podem deixar dúvidas, comentários ou sugestões nos comentários desta postagem.

Vídeo-aula de Radiciação

Propriedades das Potências

A potenciação é a propriedade que simplifica as multiplicações de mesmos valores. Assim o produto 2 . 2 . 2 = 2³, assim como 5 . 5 = 5². Porém, quando os expoente se tornam grandes é melhor trabalhar com as propriedades para facilitar as operações.

PROPRIEDADES

1. Produto de potências de mesma base: repete-se a base e soma os expoentes.

Exemplos:

a. 2² . 2⁵ = 2²⁺⁵ = 2⁷

b. 3⁶ . 3³ . 3² = 3⁶⁺³⁺² = 3¹¹

2. Quociente de Potências de mesma base: repete-se a base e subtrai os expoentes.

Exemplos:

a. 2⁵ : 2³ = 2^5-3 = 2²

b. 3¹⁰ : 3⁴ = 3^10-4 = 3⁶

3. Potência de Potência: Repete-se a base e multiplica os expoentes.

Exemplos:

a. (5²)³ = 5^{2 . 3} = 5⁶

b. (7³)⁵ = 7^{5 . 3} = 7¹⁵

4. Potência de produtos: distribui-se a potência nos valores multiplicados.

Exemplos:

a. (5 . 3)³ = 5³ . 3³

b. (2 . 3)⁵ = 2⁵ . 3⁵

Vídeo-aula de Potenciação

Divisão entre números Reais

A operação de multiplicação pode ser vista como sendo uma separação de conjuntos de mesma quantidades de elementos realizando subtrações sucessivas. Observe que a divisão de 24 por 4 pode ser vista como a subtração sucessiva de conjuntos que contenham 4 elementos, com a finalidade de saber quantos conjuntos destes é possível formar. chegamos a conclusão que retirando conjunto após conjunto de 4 elementos, conseguimos retirar 6 conjuntos do aglomerado de 24 elementos. Assim os vinte e quatro elementos podem ser divididos em seis grupos de 4. Ou seja, 24 : 4 = 6

DIVISÃO ENTRE NÚMEROS NATURAIS

Considerando apenas os números naturais, temos que toda divisão é composta de um dividendo (número a ser dividido), um divisor (número que divide), o quociente (o resultado da divisão) e o resto (valor que sobra quando a divisão não é exata). Neste conjunto os dividendos são sempre maiores que os divisores; com isso evitamos ter um resultado racional.

Como os números naturais são todos positivos, e temos as mesmas regras de sinais da multiplicação, então sempre a divisão de um número natural por um número natural teremos o resultado pertencente aos números naturais. Veja alguns exemplos:

Exemplos de divisões exatas:

a. 32 : 4 = 8

b. 224 : 8 = 28

c. 425 : 25 = 17

Observação: podemos escrever as o valor de uma divisão inexata através de uma multiplicação e adição.

a. 25 : 4 => 6 . 4 + 1 (quociente 6 e resto 1)

b. 33 : 7 => 4 . 7 + 5 (quociente 4 e resto 5)

DIVISÃO ENTRE NÚMEROS INTEIROS

Utilizamos o mesmo processo já descrito números naturais, porém temos que ter o cuidado com os sinais, uma vez que nesse conjunto surge os valores negativos.

Exemplos:

a. 25 : (-5) = -5

b. -42 : 6 = -7

c. -36 : (-12) = 3

d. 99 : 3 = 33

DIVISÃO ENTRE NÚMEROS RACIONAIS

Com os números racionais, não estamos mais presos a resultados inteiros. Assim, não temos mais a restrição de dividendo maior que divisor. Vejamos como resolver as divisões de números racionais em cada caso.

1. Fração

Repetimos o primeiro valor numérico e multiplicamos pelo inverso do segundo valor. Lembramos que uma fração, mesmo tendo dois valores (numerador e denominador) ela representa um valor numérico racional.

Exemplos:

a. b. c.

2. Decimais

Existe mais de uma forma para realizar a divisão entre números decimais, aconselho o uso de frações para solucionar tais problemas. Transformamos os números decimais em frações e realizamos a operação assim como mostramos anteriormente, e se necessário transformamos a fração encontrada num número decimal.

Exemplos:

a. b. c.

DIVISÃO ENTRE IRRACIONAIS

Trabalhamos com os símbolos de cada número irracional realizando simplificações através de divisões de números iguais, ou de suas potências. acompanhe a evolução dos exemplos.

Exemplos:

a. b. c.

Assim, finalizamos a aula sobre divisões, pratiquem e tirem as dúvidas

em sala ou deixem um comentário!!!

Multiplicação entre números Reais

A operação de multiplicação tem no seu principio a soma de conjuntos com mesma quantidade de elementos, sendo uma forma de simplificar tais adições. Por isso para realizarmos esta operação devemos ter o entendimento do seu principio. Observe a seguinte multiplicação:

21 x 15 = (20 x 15) + (1 x 15) = 300 + 15 = 315

ou

21 x 15 = 15 x 21 = (10 x 21) + (5 x 21) = 210 + 105 = 315

Nos exemplos acima temos: vinte e um conjunto de quinze elementos que é igual à soma de vente conjunto de quinze com um conjunto de quinze elementos. E ainda, vinte e um conjuntos de quinze é igual a quinze conjuntos de vinte e um elementos, que por sua vez é igual à soma de dez conjuntos de vinte e um com cinco conjuntos de vinte e um elementos.

As regras de sinais, assim como na adição, na multiplicação serão utilizadas em todos os conjuntos numéricos as mesmas regras. Adiantamos, ainda, que estas regras também serão utilizadas nas divisões. Após realizar a operação com os sinais deve-se multiplicar os valores numéricos.

Regras de sinais:

1. Produto de sinais iguais o resultado será positivo;

2. Produto de sinais diferentes o resultado será negativo.

MULTIPLICAÇÃO ENTRE NÚMEROS NATURAIS

Como todo número natural é positivo concluímos que a multiplicação de todo números natural resultará em um número natural, pois, pelas regras de sinais descritas, o resultado será positivo acompanhado do produto dos valores numéricos.

Exemplos:

a. 5 x 7 = 35

b. 12 x 11 = 132

MULTIPLICAÇÃO ENTRE NÚMEROS INTEIROS

1. Quando os dois valores forem positivos, estamos falando de produto de números inteiros que também são naturais, para isso vale a regra já mencionada.

Exemplos:

a. 5 x 7 = 35

b. 12 x 11 = 132

2. Quando os dois valores forem negativo temos produto de número inteiros não naturais. Com isso o resultado será positivo acompanhado do produto dos valores numéricos (pela regra de sinais já apresentada) .

Exemplos:

a. -5 x (-7) = 35

b. -12 x (-11) = 132

3. Quando o produto for de um número positivo com um número negativo, ou negativo com positivo o resultado será negativo acompanhado do produto dos valores numéricos (pela regra de sinais já apresentada).

Exemplos:

a. 5 x (-7) = -35

b. -12 x 11 = -132

PRODUTO ENTRE RACIONAIS (NÃO INTEIROS)

1. Racional Decimal

O resultado de um produto de números racionais é encontrado seguindo os seguintes passos:

a. consideramos todos os algarismos significativos do número decimal cada um em sua respectiva posição e sem a vírgula;

b. multiplicamos esse valor como se fosse um número inteiro;

c. o resultado do produto terá a quantidade de casa decimais igual à soma das casa decimais dos números decimais iniciais.

Exemplos:

a. 0,12 x 0,4

Assim como o resultado do produto é 48 e este deve ter três casas decimais, temos que:

0,12 x 0,4 = 0,048

b. 1,3 x (-0,31)

Assim como o resultado do produto é 403 e este deve ter três casas decimais, temos que :

1,3 x (-0,31) = -0,403

2. Racional na forma de fração

A regra geral é que se multiplica numerador por numerador e denominador por denominador, nos casos em que tem números inteiros, basta escrever o número inteiro na forma de fração e usar a regra geral.

Exemplos:

a.

b.

PRODUTO ENTRE IRRACIONAIS

Tratamos os números irracionais assim como as expressões algébricas, uma vez que trabalhamos com seus símbolos. Assim, a multiplicação entre números irracionais iguais escrevemos eles na forma de potência, e nos casos dos irracionais diferentes escrevemos o produto como a junção dos símbolos. Na questão dos sinais usamos a mesma regra já estudada.

Exemplos:

a. b.

Nos casos que desejamos uma aproximação realizamos a multiplicação com seus valores decimais aproximados.

Exemplos:

a.

b.